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公務員試験問答 数的推理（II種・上級）１

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納骨堂許認可に携わる公務員試験問答 数的推理（II種・上級）１

問題
Ａ〜Ｅの５人が１００点満点の試験を受けた。５人の得点について次のことがわかっているとき、Ｅの得点は何点か。ただしＡ〜Ｅの得点は全て整数であるとする。

  1. １５点
  2. ３０点
  3. ４５点
  4. ６０点
  5. ７５点
解答：

整数の性質を解法に用いる問題を整数問題という。この場合、問題の条件より作られる式を分数の形などにして、整数の性質を用いると良い。
Ａ〜Ｅの得点をそれぞれａ〜ｅとすると、問題の条件より次の式が成り立つ。

ａ＝ｅ／３……(１)式
ｂ＝ｅ／５……(２)式
ｃ＝３ｅ／２ ……(３)式
ｄ＝（ａ＋ｂ＋ｃ＋２１）／２……(４)式

まず(１)式より判断できるのは、ｅは３で割り切れなければａは整数とならないから、ｅは３の倍数であるということである。同様に(２)式よりｅは５の倍数、(３)式よりｅは２の倍数でもある。つまりｅは３×５×２＝３０の倍数でなければならない。
ここでｅは３０点６０点９０点の３通りが考えられるので、それぞれについて検討してみる。

i）ｅ＝３０点の時
(１)式より、ａ＝１０点。(２)式より、ｂ＝６点。(３)式より、ｃ＝４５点。
よって(４)式より、ｄ＝４１となって、成り立つ。

ii）ｅ＝６０点の時
同様にして、ａ＝２０点、ｂ＝１２点、ｃ＝９０点。よって(４)式より、整数となるｄの点数は存在しない。

iii）ｅ＝９０点の時
(３)式より、ｃ＝１３５点となって、１００点を越えてしまうので、条件に反する。 ∴ ｅ＝３０点

問題
５で割ると４余り、６で割ると５余り、７で割ると６余る最小の自然数の各けたの数の和はいくらか。

  1. １１
  2. １２
  3. １３
  4. １４
  5. １５
解答：

反対から見ると問題が非常に簡単になることがある。これもその一つ。
５で割ると４余るということは、５で割ると１足りないということ。
６で割ると５余るということは、６で割ると１足りないということ。
７で割ると６余るということは、６で割ると１足りないということである。
つまり、問題の数は５で割っても６で割っても７で割っても１足りない数、つまり５と６と７の最小公倍数から１を引いたものである。５、６、７は共通の因数を持たないから、最小公倍数は、
５×６×７＝２１０
より、条件に当てはまる数は
２１０−１＝２０９
∴ ２＋０＋９＝１１



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